Johann Friedrich Anton Fleischmann naît le 19 juillet 1766 à Marktheidenfeld, en Franconie. Très tôt, il révèle des dispositions musicales remarquables : dès l’âge de huit ans, il se produit en public au piano. Encouragé par son entourage, il poursuit sa formation à Mannheim, haut lieu de la musique allemande de la fin du XVIIIᵉ siècle, où il a pour maîtres Ignaz Holzbauer et l’abbé Georg Joseph Vogler. Parallèlement, il fait des études de philosophie et de droit à l’université de Würzburg, où il obtient un doctorat en 1783.

En 1786, il entre comme secrétaire privé au service de l’administration de Ratisbonne, puis devient secrétaire de cabinet auprès du duc Georg I de Saxe-Meiningen. C’est dans ce cadre qu’il prend officiellement le prénom Johann, sur suggestion du duc. À Meiningen, il exerce à la fois des responsabilités administratives et une activité musicale au sein de la chapelle de cour. Il épouse en 1792 Johanna Christiane Louise von Schultes, avec qui il aura quatre enfants.

Fleischmann compose des œuvres orchestrales, de la musique de chambre, des lieder et de la musique sacrée. Son œuvre la plus connue est le singspiel Die Geisterinsel, inspiré de La Tempête de Shakespeare, créé à Francfort en 1792 et repris à Weimar quelques années plus tard. Il laisse également plusieurs concertos pour piano, des symphonies, des sonates, des partitas pour vents ainsi qu’un essai théorique publié après sa mort, Wie muss ein Tonstück beschaffen seyn, um gut genannt zu werden? (« Comment une pièce musicale doit-elle être conçue pour mériter le qualificatif de bonne ? »).

Aujourd’hui, Fleischmann est surtout passé à la postérité comme l’auteur de la berceuse Schlafe, mein Prinzchen, schlaf ein (Dors, mon petit prince), longtemps attribuée à tort à Mozart (K. 350). Cette confusion, entretenue au XIXᵉ siècle, est désormais levée par les recherches musicologiques qui lui reconnaissent la paternité de cette page célèbre.

La carrière prometteuse de Fleischmann est interrompue prématurément : il meurt à Meiningen le 30 novembre 1798, à seulement 32 ans. Bien qu’il soit resté relativement méconnu, son œuvre témoigne d’un musicien sensible et cultivé, représentatif de la génération qui suivit Mozart et Haydn.